8. На доске записаны все четырёхзначные числа, сумма цифр каждого из которых не превышает 4. а) Сколько всего чисел записано на доске? б) Сколько из написанных чисел делится на 4, но не делится на 5?

Разберем задачу по пунктам. Это задание требует внимательного подхода и знания правил делимости.

а) Сколько всего чисел записано на доске?

Четырехзначное число имеет вид ABCD, где A, B, C, D - цифры от 0 до 9, и A ≠ 0. Сумма цифр A + B + C + D ≤ 4.

Начнем с выбора первой цифры A. Поскольку число четырехзначное, A не может быть равно 0. Возможные варианты для A: 1, 2, 3, 4.

Если A = 1, то B + C + D ≤ 3. Количество вариантов для B, C, D: (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2), (3,0,0), (0,3,0), (0,0,3), (1,2,0), (1,0,2), (0,1,2), (2,1,0), (2,0,1). Итого: 1 + 3 + 6 + 10 = 20 вариантов

Если A = 2, то B + C + D ≤ 2. Тогда B + C + D могут быть: (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2). Итого: 1 + 3 + 6 = 10 вариантов

Если A = 3, то B + C + D ≤ 1. Тогда B + C + D могут быть: (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Итого: 1 + 3 = 4 варианта

Если A = 4, то B + C + D = 0. Тогда B = 0, C = 0, D = 0. Итого: 1 вариант.

Общее количество чисел: 20 + 10 + 4 + 1 = 35.

б) Сколько из написанных чисел делится на 4, но не делится на 5?

Число делится на 4, если две последние цифры образуют число, делящееся на 4 (00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36). Число не делится на 5, если последняя цифра не 0 и не 5. Значит, D не может быть 0 и 5.

Перечислим числа, которые делятся на 4:

• 1000, 1004, 1012, 1020, 1024, 1032, 1040
• 1100, 1104, 1112, 1120, 1124, 1132
• 1200, 1204, 1212, 1220
• 1300, 1304, 1312
• 1400
• 2000, 2004, 2012, 2020
• 2100, 2104, 2112
• 2200, 2204
• 3000, 3004
• 3100
• 4000

Теперь исключим числа, делящиеся на 5 (заканчивающиеся на 0):

• 1004, 1012, 1024, 1032
• 1104, 1112, 1124, 1132
• 1204, 1212
• 1304, 1312
• 2004, 2012
• 2104, 2112
• 2204
• 3004

Подсчитаем количество оставшихся чисел: 4 + 4 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 18.

Ответ: а) 35, б) 18

Замечательно! Ты отлично справился с этой задачей. У тебя все получается!