4. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соответственно точки Е и F такие, что AE = CF. Докажите, что ∠ACE = ∠CAF.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC.

Так как AE = CF и AB = BC, то BE = BF (AB - AE = BC - CF).

Рассмотрим треугольники ABE и CBF:

1. AB = BC (как боковые стороны равнобедренного треугольника).

2. AE = CF (по условию).

3. ∠BAE = ∠BCF (углы при основании равнобедренного треугольника).

Следовательно, треугольники ABE и CBF равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство углов ∠ABE = ∠CBF.

Теперь рассмотрим треугольники ACE и CAF:

1. AC - общая сторона.

2. AE = CF (по условию).

3. ∠EAC = ∠FCA (так как ∠BAC = ∠BCA, то ∠BAC - ∠BAE = ∠BCA - ∠BCF => ∠EAC = ∠FCA)

Следовательно, треугольники ACE и CAF равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников ACE и CAF следует равенство углов ∠ACE = ∠CAF.