Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что решка выпадет не более двух раз.

Пусть p = 0.5 - вероятность выпадения решки, тогда q = 1 - p = 0.5 - вероятность выпадения орла. Нам нужно найти вероятность, что решка выпадет не более двух раз, то есть 0, 1 или 2 раза. Вероятность выпадения k решек из n бросков определяется формулой Бернулли: $$P(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$, где $$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ Тогда вероятность, что решка выпадет не более двух раз: $$P(X \le 2) = P(0) + P(1) + P(2) = C_4^0 \cdot p^0 \cdot q^4 + C_4^1 \cdot p^1 \cdot q^3 + C_4^2 \cdot p^2 \cdot q^2$$ $$P(X \le 2) = \frac{4!}{0!4!} \cdot (0.5)^0 \cdot (0.5)^4 + \frac{4!}{1!3!} \cdot (0.5)^1 \cdot (0.5)^3 + \frac{4!}{2!2!} \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^2$$ $$P(X \le 2) = 1 \cdot (0.5)^4 + 4 \cdot (0.5)^4 + 6 \cdot (0.5)^4$$ $$P(X \le 2) = (0.5)^4 + 4 (0.5)^4 + 6 (0.5)^4 = 11 (0.5)^4$$