m) \( \frac{1}{x+1} - \frac{2}{x^2-x+1} \le \frac{1-2x}{x^3+1} \) y) \( \frac{(3x-1)^3(x+4)^2}{(x^2+7)(5-x)} \le 0 \) ф) \( \frac{(x^3-64)(9-x^2)}{x^3+1} \ge 0 \)

Решение:

m) \( \frac{1}{x+1} - \frac{2}{x^2-x+1} \le \frac{1-2x}{x^3+1} \)
Приведем к общему знаменателю \( x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1) \).
\( \frac{x^2-x+1}{(x+1)(x^2-x+1)} - \frac{2(x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)} \le \frac{1-2x}{x^3+1} \)
\( \frac{x^2-x+1-2x-2}{x^3+1} \le 0 \)
\( \frac{x^2-3x-1}{x^3+1} \le 0 \)
Найдем корни числителя \( x^2-3x-1=0 \): \( D = (-3)^2 - 4(1)(-1) = 9 + 4 = 13 \). \( x_1 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2} \), \( x_2 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \).
Найдем корень знаменателя \( x^3+1=0 \) → \( x=-1 \).
Рассмотрим знаки выражений на интервалах:
| Интервал | \( x^2-3x-1 \) | \( x^3+1 \) | \( \frac{x^2-3x-1}{x^3+1} \) |
|-----------------------------|----------------|-----------|--------------------------|
| \( (-\infty; -1) \) | + | - | - |
| \( (-1; \frac{3 - \sqrt{13}}{2}) \) | + | + | + |
| \( (\frac{3 - \sqrt{13}}{2}; \frac{3 + \sqrt{13}}{2}) \) | - | + | - |
| \( (\frac{3 + \sqrt{13}}{2}; +\infty) \) | + | + | + |
Ответ: \( x \in (-\infty; -1) \cup [\frac{3 - \sqrt{13}}{2}; \frac{3 + \sqrt{13}}{2}] \).

y) \( \frac{(3x-1)^3(x+4)^2}{(x^2+7)(5-x)} \le 0 \)
Знаменатель \( x^2+7 \) всегда положителен. \( (x+4)^2 \) всегда неотрицателен. При \( x=-4 \) выражение равно 0. При \( x
e -4 \), \( (x+4)^2 > 0 \).
Следовательно, нужно решить \( \frac{(3x-1)^3}{5-x} \le 0 \) при \( x
e -4 \).
Найдем корни числителя \( 3x-1=0 \) → \( x=1/3 \).
Найдем корень знаменателя \( 5-x=0 \) → \( x=5 \).
Рассмотрим знаки выражений на интервалах:
| Интервал | \( (3x-1)^3 \) | \( 5-x \) | \( \frac{(3x-1)^3}{5-x} \) |
|-----------------------------|----------------|-----------|--------------------------|
| \( (-\infty; 1/3) \) | - | + | - |
| \( (1/3; 5) \) | + | + | + |
| \( (5; +\infty) \) | + | - | - |
Учитывая \( x=-4 \) и \( x=1/3 \), получаем:
Ответ: \( x \in (-\infty; -4) \cup (-4; 1/3] \cup (5; +\infty) \).

ф) \( \frac{(x^3-64)(9-x^2)}{x^3+1} \ge 0 \)
Разложим на множители:
\( \frac{(x-4)(x^2+4x+16)(3-x)(3+x)}{(x+1)(x^2-x+1)} \ge 0 \)
\( x^2+4x+16 \) всегда положительно (D = 16-64 < 0). \( x^2-x+1 \) всегда положительно (D = 1-4 < 0).
\( \frac{(x-4)(3-x)(3+x)}{x+1} \ge 0 \)
Найдем корни числителя: \( x=4, x=3, x=-3 \).
Найдем корень знаменателя: \( x=-1 \).
Рассмотрим знаки выражений на интервалах:
| Интервал | \( x-4 \) | \( 3-x \) | \( 3+x \) | \( x+1 \) | \( \frac{(x-4)(3-x)(3+x)}{x+1} \) |
|-----------------------------|-----------|-----------|-----------|-----------|------------------------------------|
| \( (-\infty; -3) \) | - | + | - | - | - |
| \( (-3; -1) \) | - | + | + | - | + |
| \( (-1; 3) \) | - | + | + | + | - |
| \( (3; 4) \) | - | - | + | + | + |
| \( (4; +\infty) \) | + | - | + | + | - |
Ответ: \( x \in [-3; -1) \cup [3; 4] \).