10.71. Решите следующие неравенства: a) 2x² > 4x + 16; б) x²+25 > 10x; в) х²-8x+20≥ 0; г) 7x²+14x+7<0; д) 6x-1-9x² ≤ 0; е) 3x²+3x+1 < 0; ж) x²-6x+5 / x²+1 < 0;

Решение:

а) \( 2x^2 > 4x + 16 \)
\( 2x^2 - 4x - 16 > 0 \)
\( x^2 - 2x - 8 > 0 \)
Найдем корни уравнения \( x^2 - 2x - 8 = 0 \): \( D = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \). \( x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4 \), \( x_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2 \).
Парабола ветвями вверх, поэтому \( x^2 - 2x - 8 > 0 \) при \( x \in (-\infty; -2) \cup (4; +\infty) \).

б) \( x^2 + 25 > 10x \)
\( x^2 - 10x + 25 > 0 \)
\( (x - 5)^2 > 0 \).
Неравенство верно для всех \( x \), кроме \( x = 5 \).
Ответ: \( x \in (-\infty; 5) \cup (5; +\infty) \).

в) \( x^2 - 8x + 20 \ge 0 \)
Найдем корни уравнения \( x^2 - 8x + 20 = 0 \): \( D = (-8)^2 - 4(1)(20) = 64 - 80 = -16 \).
Дискриминант отрицательный, ветви параболы вверх. Значит, \( x^2 - 8x + 20 \) всегда больше 0.
Ответ: \( x \in (-\infty; +\infty) \).

г) \( 7x^2 + 14x + 7 < 0 \)
\( 7(x^2 + 2x + 1) < 0 \)
\( 7(x + 1)^2 < 0 \).
Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому неравенство не имеет решений.
Ответ: нет решений.

д) \( 6x - 1 - 9x^2 \le 0 \)
\( -9x^2 + 6x - 1 \le 0 \)
\( 9x^2 - 6x + 1 \ge 0 \)
\( (3x - 1)^2 \ge 0 \).
Неравенство верно для всех \( x \).
Ответ: \( x \in (-\infty; +\infty) \).

е) \( 3x^2 + 3x + 1 < 0 \)
Найдем корни уравнения \( 3x^2 + 3x + 1 = 0 \): \( D = 3^2 - 4(3)(1) = 9 - 12 = -3 \).
Дискриминант отрицательный, ветви параболы вверх. Значит, \( 3x^2 + 3x + 1 \) всегда больше 0. Неравенство не имеет решений.
Ответ: нет решений.

ж) \( \frac{x^2 - 6x + 5}{x^2 + 1} < 0 \)
Знаменатель \( x^2 + 1 \) всегда положителен. Значит, нужно, чтобы числитель был отрицательным.
\( x^2 - 6x + 5 < 0 \)
Найдем корни уравнения \( x^2 - 6x + 5 = 0 \): \( D = (-6)^2 - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16 \). \( x_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5 \), \( x_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1 \).
Парабола ветвями вверх, поэтому \( x^2 - 6x + 5 < 0 \) при \( x \in (1; 5) \).