log₅(x²+7x+10) > -2

Решение:

1. Перепишем неравенство: \( \log_{5}(x^2+7x+10) > -2 \).
2. Так как основание логарифма \( 5 > 1 \), то функция \( y = \log_{5}(x) \) возрастающая. Снимаем логарифм, сохраняя знак неравенства: \( x^2+7x+10 > 5^{-2} \).
3. \( x^2+7x+10 > \frac{1}{25} \).
4. Перенесём всё в левую часть: \( x^2+7x+10 - \frac{1}{25} > 0 \).
5. \( x^2+7x + \frac{250-1}{25} > 0 \).
6. \( x^2+7x + \frac{249}{25} > 0 \).
7. Найдём корни уравнения \( x^2+7x + \frac{249}{25} = 0 \) через дискриминант: \( D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{249}{25} = 49 - \frac{996}{25} = \frac{1225 - 996}{25} = \frac{229}{25} \).
8. \( \sqrt{D} = \frac{\sqrt{229}}{5} \).
9. \( x_1 = \frac{-7 + \frac{\sqrt{229}}{5}}{2} = \frac{-35 + \sqrt{229}}{10} \).
10. \( x_2 = \frac{-7 - \frac{\sqrt{229}}{5}}{2} = \frac{-35 - \sqrt{229}}{10} \).
11. Таким образом, \( x^2+7x + \frac{249}{25} > 0 \) при \( x < \frac{-35 - \sqrt{229}}{10} \) или \( x > \frac{-35 + \sqrt{229}}{10} \).
12. Учтём область определения логарифма: \( x^2+7x+10 > 0 \). Корни уравнения \( x^2+7x+10 = 0 \) равны \( x = -2 \) и \( x = -5 \). Значит, \( x^2+7x+10 > 0 \) при \( x < -5 \) или \( x > -2 \).
13. \( \sqrt{229} \approx 15.13 \).
14. \( x_1 \approx \frac{-35 + 15.13}{10} = \frac{-19.87}{10} = -1.987 \).
15. \( x_2 \approx \frac{-35 - 15.13}{10} = \frac{-50.13}{10} = -5.013 \).
16. Объединяя условия \( x < -5.013 \) или \( x > -1.987 \) и \( x < -5 \) или \( x > -2 \), получаем: \( x < \frac{-35 - \sqrt{229}}{10} \) или \( x > \frac{-35 + \sqrt{229}}{10} \).

Ответ: \( \left(-\infty; \frac{-35 - \sqrt{229}}{10}\right) \cup \left(\frac{-35 + \sqrt{229}}{10}; +\infty\right) \).