log₁₀(x²-2x) > 1

Решение:

1. Перепишем неравенство: \( \log_{10}(x^2-2x) > 1 \).
2. Так как основание логарифма \( 10 > 1 \), то функция \( y = \log_{10}(x) \) возрастающая. Снимаем логарифм, сохраняя знак неравенства: \( x^2-2x > 10^1 \).
3. \( x^2-2x > 10 \).
4. Перенесём всё в левую часть: \( x^2-2x - 10 > 0 \).
5. Найдём корни уравнения \( x^2-2x-10 = 0 \) через дискриминант: \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 4 + 40 = 44 \).
6. \( \sqrt{D} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11} \).
7. \( x_1 = \frac{2 + 2\sqrt{11}}{2} = 1 + \sqrt{11} \).
8. \( x_2 = \frac{2 - 2\sqrt{11}}{2} = 1 - \sqrt{11} \).
9. Таким образом, \( x^2-2x-10 > 0 \) при \( x < 1 - \sqrt{11} \) или \( x > 1 + \sqrt{11} \).
10. Учтём область определения логарифма: \( x^2-2x > 0 \). Корни уравнения \( x^2-2x = 0 \) равны \( x(x-2)=0 \), то есть \( x = 0 \) и \( x = 2 \). Значит, \( x^2-2x > 0 \) при \( x < 0 \) или \( x > 2 \).
11. \( \sqrt{11} \approx 3.317 \).
12. \( 1 - \sqrt{11} \approx 1 - 3.317 = -2.317 \).
13. \( 1 + \sqrt{11} \approx 1 + 3.317 = 4.317 \).
14. Объединяя условия \( x < -2.317 \) или \( x > 4.317 \) и \( x < 0 \) или \( x > 2 \), получаем: \( x < 1 - \sqrt{11} \) или \( x > 1 + \sqrt{11} \).

Ответ: \( \left(-\infty; 1 - \sqrt{11}\right) \cup \left(1 + \sqrt{11}; +\infty\right) \).