Куб вписан в шар радиуса \(\sqrt{3}\). Найдите объём куба.

Решение:

Если куб вписан в шар, то радиус шара \( R \) равен половине пространственной диагонали куба \( d \).

1. Пространственная диагональ куба связана с радиусом шара: \( d = 2R \).
2. Так как \( R = \sqrt{3} \), то \( d = 2\sqrt{3} \).
3. Длина ребра куба \( a \) связана с его диагональю формулой \( d = a\sqrt{3} \).
4. Найдём длину ребра куба: \( a\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \) \( \implies a = 2 \).
5. Объём куба вычисляется по формуле \( V = a^3 \).
6. Подставим найденное значение ребра: \( V = 2^3 = 8 \).

Ответ: 8.