Контрольная работ по геометрии №3 Вариант 4 1. Начертите два неколлинеарных вектора ти п. Постройте 1- векторы, равные: а) т 2. 3m+2n; 6) 3n 3n-m. Даны точки А (-2; 3), B (1; −1), C (2; 4). Найдите: 1) координаты векторов АВ и СА; 2) модули векторов АВ и СА; 3) координаты вектора MN - ЗАВ - 2CA; 4) скалярное произведение векторов АВ и СА; 5) косинус угла между векторами АВ и СА.

Контрольная работа по геометрии №3, Вариант 4

Задача 2

Даны точки A(-2; 3), B(1; -1), C(2; 4). Найдите:

1. Координаты векторов AB и CA;
2. Модули векторов AB и CA;
3. Координаты вектора MN = 3AB - 2CA;
4. Скалярное произведение векторов AB и CA;
5. Косинус угла между векторами AB и CA.

Решение:

1. Координаты вектора AB:

   \[AB = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (1 - (-2); -1 - 3) = (3; -4)\]

   Координаты вектора CA:

   \[CA = (x_A - x_C; y_A - y_C) = (-2 - 2; 3 - 4) = (-4; -1)\]

2. Модуль вектора AB:

   \[|AB| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]

   Модуль вектора CA:

   \[|CA| = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}\]

3. Координаты вектора MN = 3AB - 2CA:

   \[3AB = 3(3; -4) = (9; -12)\]

   \[2CA = 2(-4; -1) = (-8; -2)\]

   \[MN = (9; -12) - (-8; -2) = (9 + 8; -12 + 2) = (17; -10)\]

4. Скалярное произведение векторов AB и CA:

   \[AB \cdot CA = x_{AB} \cdot x_{CA} + y_{AB} \cdot y_{CA} = 3 \cdot (-4) + (-4) \cdot (-1) = -12 + 4 = -8\]

5. Косинус угла между векторами AB и CA:

   \[cos(\angle(AB, CA)) = \frac{AB \cdot CA}{|AB| \cdot |CA|} = \frac{-8}{5 \cdot \sqrt{17}} = \frac{-8}{5\sqrt{17}} = -\frac{8\sqrt{17}}{85}\]

Ответ:

1. AB(3; -4), CA(-4; -1)
2. |AB| = 5, |CA| = \(\sqrt{17}\)
3. MN(17; -10)
4. AB · CA = -8
5. cos(∠(AB, CA)) = \(-\frac{8\sqrt{17}}{85}\)

Ответ: смотри выше