Компланарны ли векторы: а) \( \vec{a} \{-3; -3; 0\} \), \( \vec{i} \) и \( \vec{j} \); б) \( \vec{b} \{2; 0; 3\} \), \( \vec{i} \) и \( \vec{j} \).

Решение:

Три вектора \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны ей. Векторы \( \vec{i} \{1; 0; 0\} \), \( \vec{j} \{0; 1; 0\} \) и \( \vec{k} \{0; 0; 1\} \) являются единичными векторами, образующими базис. Для трех векторов \( \vec{a}\{x_1; y_1; z_1\} \), \( \vec{b}\{x_2; y_2; z_2\} \) и \( \vec{c}\{x_3; y_3; z_3\} \) условие компланарности означает, что их смешанное произведение равно нулю: \( [\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}] = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix} = 0 \).

а) \( \vec{a} \{-3; -3; 0\} \), \( \vec{i} \{1; 0; 0\} \) и \( \vec{j} \{0; 1; 0\} \)

1. Составим определитель: \( \begin{vmatrix} -3 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} \).
2. Вычислим определитель. Разложим по третьей колонке: \( 0 \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - 0 \cdot (-3 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + 0 \cdot (-3 \cdot 0 - (-3) \cdot 1) = 0 \).
3. Так как определитель равен нулю, векторы компланарны.

б) \( \vec{b} \{2; 0; 3\} \), \( \vec{i} \{1; 0; 0\} \) и \( \vec{j} \{0; 1; 0\} \)

1. Составим определитель: \( \begin{vmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} \).
2. Вычислим определитель. Разложим по второй колонке: \( 0 \cdot (1 \cdot 0 - 0 \cdot 0) - 0 \cdot (2 \cdot 0 - 3 \cdot 0) + 1 \cdot (2 \cdot 0 - 3 \cdot 1) = 0 - 0 + 1 \cdot (0 - 3) = -3 \).
3. Так как определитель не равен нулю (-3 ≠ 0), векторы не компланарны.

Ответ: а) векторы компланарны; б) векторы не компланарны.