Коллинеарны ли векторы: а) \( \vec{a} \{3; 6; 8\} \) и \( \vec{b} \{6; 12; 16\} \); б) \( \vec{c} \{1; -1; 3\} \) и \( \vec{d} \{2; 3; 15\} \).

Решение:

Два ненулевых вектора коллинеарны, если координаты одного вектора пропорциональны соответствующим координатам другого вектора, то есть существует такое число \( k \), что \( \vec{a} = k \vec{b} \).

а) \( \vec{a} \{3; 6; 8\} \) и \( \vec{b} \{6; 12; 16\} \)

1. Найдем отношение соответствующих координат: \( \frac{6}{3} = 2 \), \( \frac{12}{6} = 2 \), \( \frac{16}{8} = 2 \).
2. Так как отношение всех соответствующих координат одинаково и равно 2, то \( \vec{b} = 2\vec{a} \). Следовательно, векторы коллинеарны.

б) \( \vec{c} \{1; -1; 3\} \) и \( \vec{d} \{2; 3; 15\} \)

1. Найдем отношение соответствующих координат: \( \frac{2}{1} = 2 \), \( \frac{3}{-1} = -3 \), \( \frac{15}{3} = 5 \).
2. Так как отношение координат не одинаково (2 ≠ -3 ≠ 5), векторы не коллинеарны.

Ответ: а) векторы коллинеарны; б) векторы не коллинеарны.