Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Решение:

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \( a = 15 \) и \( b = 20 \). Пусть \( c \) — гипотенуза, а \( h \) — высота, проведённая к гипотенузе.

Сначала найдём длину гипотенузы по теореме Пифагора:

\( c^2 = a^2 + b^2 \)

\( c^2 = 15^2 + 20^2 \)

\( c^2 = 225 + 400 \)

\( c^2 = 625 \)

\( c = \sqrt{625} = 25 \)

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: \( S = \frac{1}{2}ab \)

2. Через гипотенузу и высоту, проведённую к ней: \( S = \frac{1}{2}ch \)

Приравниваем эти два выражения для площади:

\( \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch \)

\( ab = ch \)

Теперь найдём высоту \( h \):

\( h = \frac{ab}{c} \)

\( h = \frac{15 · 20}{25} \)

\( h = \frac{300}{25} \)

\( h = 12 \)

Ответ: 12