Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке К. Найдите площадь параллелограмма, если ВС = 7, а расстояние от точки К до стороны AD равно 4.

Решение:

Пусть \( AK \) — биссектриса \( ∠ A \), \( BK \) — биссектриса \( ∠ B \) параллелограмма ABCD.

\( ∠ A + ∠ B = 180^\circ \) (как соседние углы параллелограмма).

В треугольнике \( ABK \):

\( ∠ KAB = ∠ A / 2 \)

\( ∠ KBA = ∠ B / 2 \)

Сумма углов \( ∠ KAB + ∠ KBA = (∠ A + ∠ B) / 2 = 180^\circ / 2 = 90^\circ \).

Следовательно, \( ∠ AKB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).

\( ∠ AKB = 90^\circ \) означает, что \( AK ⊥ BK \).

Также, так как \( AK \) — биссектриса \( ∠ A \), то \( ∠ KAD = ∠ KAB \).

Так как \( AD ‵ AB \) (AD параллельна AB), то \( ∠ KAB = ∠ AKA' \) (накрест лежащие углы, где \( A' \) — точка на стороне \( AB \) такая, что \( AK ‵ DA' \)).

Следовательно, \( ∠ KAD = ∠ KAB \).

Значит, \( ∠ KAB = ∠ AKA' \) → \( ∠ KAD = ∠ KAB \).

Это означает, что треугольник \( ABK \) является равнобедренным, и \( AK \) и \( BK \) являются биссектрисами углов \( A \) и \( B \). Если бы \( AK \) была биссектрисой \( ∠ A \), то \( ∠ KAB = ∠ KAD \). Поскольку \( AD ‵ BC \), то \( ∠ KAD = ∠ KBC \) (накрест лежащие углы). Таким образом, \( ∠ KAB = ∠ KBC \). Следовательно, \( ∠ KAB = ∠ KBA \) (как углы при параллельных прямых \( AD \) и \( BC \), секущей \( BK \)).

Рассмотрим треугольник \( ABK \). \( ∠ KAB = ∠ KBA \). Это означает, что \( ∠ AKB = 90^\circ \) и \( AB = BK \).

Расстояние от точки \( K \) до стороны \( AD \) равно 4. Поскольку \( AD ‵ BC \) и \( AB ‵ DC \), то расстояние от \( K \) до \( AD \) равно расстоянию от \( K \) до \( BC \).

Пусть \( h_1 \) — расстояние от \( K \) до \( AD \), \( h_2 \) — расстояние от \( K \) до \( BC \).

\( h_1 = h_2 = 4 \).

Высота параллелограмма, проведённая к основанию \( AD \) (или \( BC \)), равна \( h_1 + h_2 = 4 + 4 = 8 \).

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Основание \( BC = 7 \).

Высота \( h = 8 \).

Площадь = \( BC · h = 7 · 8 = 56 \).

Ответ: 56