6*. К окружности с центром О проведены касательные BA и BC (A и C - точки касания). Найдите ∠BCA, если ∠OAC = 32°.

Дано: BA и BC - касательные к окружности с центром O ∠OAC = 32° Найти: ∠BCA Решение: 1. OA ⊥ BA и OC ⊥ BC (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной). 2. Значит, ∠OAB = ∠OCB = 90°. 3. Рассмотрим четырехугольник OABC. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. 4. ∠ABC = 360° - ∠OAB - ∠OCB - ∠AOC. 5. ∠AOC = 180° - 2*∠OAC = 180° - 2*32° = 180° - 64° = 116° (OA = OC как радиусы, значит треугольник AOC - равнобедренный, углы при основании равны, ∠OAC = ∠OCA = 32°) 6. ∠ABC = 360° - 90° - 90° - 116° = 64°. 7. Треугольники ABO и CBO равны (BO - общая сторона, OA = OC как радиусы, ∠OAB = ∠OCB = 90°). Следовательно, ∠ABO = ∠CBO = ∠ABC / 2 = 64°/2 = 32° 8. Рассмотрим треугольник BCA. Он равнобедренный (BA = BC как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности). 9. Значит, ∠BCA = ∠BAC = (180° - ∠ABC) / 2 = (180° - 64°) / 2 = 116° / 2 = 58°. Ответ: ∠BCA = 58°