Известно, что х₁, х₂ — корни уравнения х² – 14х + 5 = 0. Не решая уравнения, найдите значение выражения х₁² + х₂².

Решение:

По теореме Виета для уравнения \( x^2 - 14x + 5 = 0 \) имеем:

• Сумма корней: \( x_1 + x_2 = -(-14) = 14 \)
• Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = 5 \)

Нам нужно найти значение выражения \( x_1^2 + x_2^2 \).

Мы знаем, что \( (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 \).

Отсюда можно выразить \( x_1^2 + x_2^2 \):

\[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \]

Подставим известные значения суммы и произведения корней:

\[ x_1^2 + x_2^2 = (14)^2 - 2 \cdot 5 \]
\( x_1^2 + x_2^2 = 196 - 10 \)
\( x_1^2 + x_2^2 = 186 \>

Ответ: \( 186 \).