4. Известно, что ЕК = FK и ЕС = FC (рис. 43). Докажите, что ZEMK=ZFMK.

Рассмотрим треугольники EKC и FKC.

Дано: EK = FK, EC = FC.

Доказать: ∠EMK = ∠FMK.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники EKC и FKC. У них EC = FC, EK = FK (по условию), KC - общая сторона.
2. Следовательно, треугольники EKC и FKC равны по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).
3. Из равенства треугольников следует, что ∠EKC = ∠FKC (как соответствующие углы равных треугольников).
4. Рассмотрим треугольники EKM и FKM. У них EK = FK (по условию), ∠EKC = ∠FKC, следовательно, ∠EKM = ∠FKM и KM - общая сторона.
5. Следовательно, треугольники EKM и FKM равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
6. Из равенства треугольников EKM и FKM следует, что ∠EMK = ∠FMK (как соответствующие углы равных треугольников).

Ответ: ∠EMK = ∠FMK