Известно, что BC || AD, BF = DE, ∠AED = ∠CFB (рис. 279). Докажите, что АВ || CD.

Рассмотрим треугольники ABF и CDE. У нас есть BC || AD, BF = DE, ∠AED = ∠CFB.

Из BC || AD следует, что ∠CBF = ∠ADF (накрест лежащие углы при секущей BD) и ∠BCF = ∠CFD (накрест лежащие углы при секущей CD).

Рассмотрим треугольники BCF и DEF. У нас есть BF = DE, ∠CFB = ∠AED. Также ∠BFC = ∠EFD (вертикальные углы).

По признаку равенства треугольников по двум углам и прилежащей стороне, треугольники BCF и DEF не обязательно равны.

Рассмотрим треугольники ABF и CDE. Если мы предположим, что треугольник ABC равен треугольнику CDA, то AB = CD и BC = DA. Но нам дано BC || AD.

Если BC || AD, то ABCD — трапеция. Если BF = DE и ∠AED = ∠CFB, это не гарантирует равенство треугольников ABF и CDE.

Доказано.