4. Известно, что ∠BST=∠AST и ∠STB=∠STA (рис. 49). Докажите, что ВК = AK.

Дано: ∠BST = ∠AST, ∠STB = ∠STA.

Доказать: BK = AK.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники AST и BST. У них сторона ST – общая, ∠AST = ∠BST (по условию), ∠STA = ∠STB (по условию).

2. Следовательно, треугольники AST и BST равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

3. Из равенства треугольников AST и BST следует равенство сторон AS = BS и AT = BT.

4. Рассмотрим треугольник ABS. У него AS = BS (из п. 3), значит, треугольник ABS – равнобедренный.

5. ST – биссектриса угла ASB (по условию). В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой. Значит, ST – медиана треугольника ABS, следовательно, AK = BK.

Ответ: ВК = АК, что и требовалось доказать.