4. Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если угол АОВ=60 градусов и MA=9

Так как МА и МВ - касательные к окружности, то углы ∠ОАМ и ∠OBM прямые (равны 90°). Рассмотрим четырехугольник OAMB. Сумма углов четырехугольника равна 360°. ∠OAM + ∠AMB + ∠MBO + ∠BOA = 360° 90° + ∠AMB + 90° + 60° = 360° ∠AMB = 360° - 90° - 90° - 60° = 120° Треугольники OAM и OBM равны (ОА = OB как радиусы, ОМ - общая сторона, углы OAM и OBM прямые). Значит, АМ = BM = 9. Рассмотрим треугольник AMB. Он равнобедренный (AM = BM). ∠MAB = ∠MBA = (180° - ∠AMB) / 2 = (180° - 120°) / 2 = 60° / 2 = 30° Рассмотрим треугольник AOB. Он равнобедренный (AO = OB, радиусы). ∠AOB = 60°, следовательно, ∠OAB = ∠OBA = (180° - 60°) / 2 = 120° / 2 = 60° Треугольник AOB - равносторонний (все углы равны 60°). Значит, AO = OB = AB. Рассмотрим треугольник OAM. Он прямоугольный. Угол ∠AOM = ∠AOB / 2 = 60° / 2 = 30° Тогда, $$OA = MA * tg∠AMO$$ $$OA = 9 * tg30°$$ $$tg30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$OA = 9 * \frac{\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$$ Тогда AB = OA = $$3\sqrt{3}$$ Ответ: $$3\sqrt{3}$$