2. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр и наклонная. Длина наклонной равна 8 см, а угол между ею и перпендикуляром равен 60°. Найти длины перпендикуляра и проекции наклонной.

Пусть дана точка K, из которой к плоскости проведён перпендикуляр KO и наклонная KA. Длина наклонной KA равна 8 см, а угол между наклонной и перпендикуляром, то есть угол OKA, равен 60°. Нужно найти длину перпендикуляра KO и длину проекции наклонной на плоскость, то есть длину отрезка OA.

Треугольник KOA прямоугольный, так как KO - перпендикуляр к плоскости. В прямоугольном треугольнике KOA:

1) $$angle OKA = 60^{\circ}$$, следовательно, $$angle OAK = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$$.

2) Катет, лежащий против угла $$30^{\circ}$$, равен половине гипотенузы. Тогда $$KO = \frac{1}{2}KA = \frac{1}{2} cdot 8 = 4$$ см.

3) По теореме Пифагора, $$KA^2 = KO^2 + OA^2$$.

Тогда $$OA^2 = KA^2 - KO^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48$$.

Следовательно, $$OA = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$$.

Ответ: Длина перпендикуляра равна 4 см, длина проекции наклонной равна $$4\sqrt{3}$$ см.