Из точки К, лежащей вне окружности, проведены касательная КЕ и секущая КМ, проходящая через центр О окружности, а точка М наиболее удалена от точки К. Найдите длину секущей, если ∠EKM = 60°, EK = 5√3.

Дано:

• Точка К вне окружности.
• Касательная КЕ, секущая КМ (проходит через центр О).
• М - наиболее удаленная точка.
• \[ \angle EKM = 60^\circ \]
• \[ KE = 5\sqrt{3} \]

Найти: Длину секущей КМ.

Решение:

1. Свойства касательной и радиуса: Радиус, проведенный в точку касания (ОЕ), перпендикулярен касательной (КЕ). Следовательно, \[ \angle KEO = 90^\circ \]
2. Треугольник КЕО: В прямоугольном треугольнике КЕО, у нас есть:
• \[ KE = 5\sqrt{3} \]
• \[ \angle EKM = \angle EKO = 60^\circ \]
3. Находим ОЕ (радиус): Используем тангенс угла EKO:

   \[ \tan(60^\circ) = \frac{KE}{OE} \]

   \[ \sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{OE} \]

   \[ OE = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5 \]

   Таким образом, радиус окружности равен 5.
4. Находим КО: Используем косинус угла EKO:

   \[ \cos(60^\circ) = \frac{OE}{KO} \]

   \[ \frac{1}{2} = \frac{5}{KO} \]

   \[ KO = 10 \]

5. Находим длину секущей КМ: Секущая КМ проходит через центр О. Точка М находится наиболее удаленно от К. Это значит, что М лежит на продолжении отрезка КО. Длина секущей КМ равна сумме расстояния от К до центра (КО) и радиуса окружности (ОМ, который равен ОЕ).

   \[ KM = KO + OM \]

   \[ KM = 10 + 5 = 15 \]

Ответ: 15