Из точки $$C$$ окружности опущен перпендикуляр $$CD$$ на её диаметр $$AB$$, $$AC = 6\sqrt{2}$$ см. Найдите радиус окружности, если отрезок $$AD$$ на 10 см меньше отрезка $$BD$$.

Пусть $$AD = x$$, тогда $$BD = x + 10$$. Так как $$AB$$ - диаметр, то $$AB = AD + BD = x + x + 10 = 2x + 10$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$ ($$\angle ACB = 90°$$ как вписанный угол, опирающийся на диаметр). В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ высота $$CD$$ есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу: $$CD^2 = AD \cdot BD = x(x+10)$$ Также, в прямоугольном треугольнике $$ABC$$ катет $$AC$$ есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу: $$AC^2 = AB \cdot AD$$ $$(6\sqrt{2})^2 = (2x + 10) \cdot x$$ $$36 \cdot 2 = 2x^2 + 10x$$ $$72 = 2x^2 + 10x$$ $$x^2 + 5x - 36 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$$ $$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{-5 - 13}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$ Так как $$x$$ - длина отрезка, то $$x > 0$$. Значит, $$x = 4$$. Тогда $$AD = 4$$, $$BD = 4 + 10 = 14$$, $$AB = 4 + 14 = 18$$. Радиус окружности равен половине диаметра: $$R = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ Ответ: 9 см