7. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите рас- стояние от точки А до точки О, если угол между касательными равен 60°, а радиус окружности равен 14.

Рассмотрим решение задачи №7.

Пусть $$B$$ и $$C$$ – точки касания.

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, следовательно, $$\angle OBA = \angle OCA = 90^\circ$$.

Рассмотрим четырехугольник $$ABOC$$. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Значит, $$\angle BOC = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$.

Проведем отрезок $$AO$$. $$AO$$ – биссектриса угла $$\angle BAC$$, следовательно, $$\angle BAO = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle ABO$$ ($$\angle ABO = 90^\circ$$). Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, то есть $$BO = \frac{1}{2} AO$$.

По условию, радиус окружности равен 14, следовательно, $$BO = 14$$. Тогда $$AO = 2 \cdot BO = 2 \cdot 14 = 28$$.

Ответ: 28