Из точки А к плоскости а проведены наклонные АВ и АС. а) Найдите расстояние от точ- ки А до плоскости а, если АAB = 20 см, АС = 15 см, а длины проекций АВ и АС на плос- кость а относятся как 16:9. б) Определите, лежат ли обе наклонные и их проекции в одной плоскости, если ВС = = 22 см.

а) Найдем расстояние от точки А до плоскости α.

Пусть расстояние от точки А до плоскости α равно h, проекция АВ на плоскость α равна x, проекция АС на плоскость α равна y.

Тогда по теореме Пифагора:

$$AB^2 = h^2 + x^2$$

$$AC^2 = h^2 + y^2$$

По условию x:y = 16:9, то есть $$x = \frac{16}{9}y$$

Подставим известные значения и выразим h^2:

$$20^2 = h^2 + (\frac{16}{9}y)^2$$

$$15^2 = h^2 + y^2$$

$$400 = h^2 + \frac{256}{81}y^2$$

$$225 = h^2 + y^2$$

Выразим h^2 из второго уравнения и подставим в первое:

$$h^2 = 225 - y^2$$

$$400 = 225 - y^2 + \frac{256}{81}y^2$$

$$175 = \frac{175}{81}y^2$$

$$y^2 = 81$$

$$y = 9$$

Тогда $$h^2 = 225 - 81 = 144$$

$$h = 12$$

б) Определим, лежат ли обе наклонные и их проекции в одной плоскости, если ВС = 22 см.

Пусть проекции АВ и АС на плоскость α - это отрезки BD и DC соответственно. Рассмотрим треугольник BCD. Если точки B, C и D лежат в одной плоскости, то выполняется неравенство треугольника:

$$BC \le BD + DC$$

$$BD = x = \frac{16}{9}y = \frac{16}{9} \cdot 9 = 16$$

$$DC = y = 9$$

$$BC = 22$$

$$22 \le 16 + 9$$

$$22 \le 25$$

Неравенство выполняется, следовательно, точки B, C и D могут лежать в одной плоскости.

Ответ: а) 12 см, б) да, лежат