10 Из города А в город Б выехал автобус, а через 2 часа со скоростью 65 км/ч следом за ним выехал автомобиль, догнал автобус в городе К и повернул обратно. Когда автомобиль вернулся в А, автобус прибыл в Б. Найдите расстояние от А до К, если расстояние между городами А и Б равно 336 км. Ответ дайте в километрах. Ответ:

Пусть $$S$$ км - расстояние от А до К. Автомобиль догнал автобус в городе К, значит, они были в пути одинаковое время. Пусть автобус был в пути $$t$$ часов, тогда автомобиль $$t-2$$ часа. $$\frac{S}{v_{автобуса}} = t$$ $$\frac{S}{65} = t-2$$ Автобус от А до Б ехал $$\frac{336}{v_{автобуса}}$$ часов, а автомобиль от А до К и от К до А $$\frac{2S}{65}$$ часов. $$\frac{336}{v_{автобуса}} = \frac{2S}{65}$$ $$\frac{S}{v_{автобуса}} = t$$ выразим $$v_{автобуса} = \frac{S}{t}$$ и подставим в уравнение $$\frac{336}{v_{автобуса}} = \frac{2S}{65}$$ получим $$\frac{336}{\frac{S}{t}} = \frac{2S}{65}$$ $$\frac{336t}{S} = \frac{2S}{65}$$ $$2S^2 = 336 \cdot 65 t$$ $$S^2 = 168 \cdot 65 t$$ (1) Подставим $$v_{автобуса} = \frac{S}{t}$$ в уравнение $$\frac{S}{65} = t-2$$ получим $$\frac{S}{65} = t-2$$ $$S = 65t-130$$ (2) Подставим уравнение (2) в уравнение (1) $$(65t-130)^2 = 168 \cdot 65 t$$ $$4225t^2 - 16900t + 16900 = 10920 t$$ $$4225t^2 - 27820t + 16900 = 0$$ Разделим на 5: $$845t^2 - 5564t + 3380 = 0$$ $$D = 5564^2 - 4 \cdot 845 \cdot 3380 = 30958096 - 11424400 = 19533696$$ $$\sqrt{D} = 4419.69$$ $$t_1 = \frac{5564 + 4419.69}{2 \cdot 845} = \frac{9983.69}{1690} ≈ 5.9$$ $$t_2 = \frac{5564 - 4419.69}{2 \cdot 845} = \frac{1144.31}{1690} ≈ 0.67$$ - не подходит, т.к. автомобиль был в пути t-2 часа, т.е. отрицательное время. Подставим t=5.9 в уравнение (2) $$S = 65 \cdot 5.9 - 130 ≈ 253.5$$ км Ответ: 253,5