4. Из 54 красных и 54 белых брусков 1 × 1 × 2 сложили куб 6 х 6 х 6. Какое наибольшее количество красных клеточек могло оказаться на поверхности куба?

Решение: Куб 6x6x6 состоит из 6 * 6 * 6 = 216 кубиков 1x1x1. Каждый брусок 1x1x2 занимает 2 кубика. Всего брусков 54 красных + 54 белых = 108 брусков. 108 брусков * 2 кубика = 216 кубиков, что соответствует полному объему куба. Теперь нужно посчитать количество кубиков на поверхности куба. На каждой грани куба 6x6 = 36 кубиков. Всего 6 граней, то есть 6 * 36 = 216 кубиков. Но угловые и реберные кубики посчитаны несколько раз. Угловых кубиков 8 штук (по одному в каждом углу). Реберных кубиков (не угловых) на каждом ребре 6 - 2 = 4. Всего ребер 12, значит, реберных кубиков 12 * 4 = 48. Кубиков в середине каждой грани (не реберных и не угловых) (6-2) * (6-2) = 16. Всего граней 6, значит, 6 * 16 = 96. Итого, общее количество кубиков на поверхности: 8 + 48 + 96 = 152. Чтобы максимизировать количество красных кубиков на поверхности, нужно расположить красные бруски так, чтобы они занимали как можно больше места на поверхности. В идеальном случае, все красные бруски должны быть расположены так, чтобы оба кубика каждого бруска находились на поверхности. В таком случае, максимальное количество красных кубиков на поверхности было бы 54 * 2 = 108. Но это невозможно, так как некоторые кубики будут внутри куба. Можно попробовать расположить красные бруски так, чтобы одна сторона каждого бруска была на поверхности, а другая - внутри. Представим, что куб сложен так, что все красные бруски сосредоточены на одной стороне. Тогда количество красных кубиков будет максимальным. Чтобы было легче посчитать, нужно рассмотреть грани куба. Наибольшее количество красных клеточек на поверхности куба: 72