Имеет ли решения система $$ \begin{cases} 5x + 2y = 3 \\ -10x + 4y = 6 \end{cases} $$и сколько?

Решение:

Для определения наличия и количества решений системы линейных уравнений, сравним коэффициенты при $$x$$ и $$y$$.

Дана система:

\[ \begin{cases} 5x + 2y = 3 \quad &(1) \\ -10x + 4y = 6 \quad &(2) \end{cases} \]

Чтобы сравнить коэффициенты, приведём первое уравнение к виду, где коэффициент при $$x$$ будет равен коэффициенту при $$x$$ во втором уравнении (или наоборот). Умножим первое уравнение на $$-2$$:

\[ -2(5x + 2y) = -2(3) \]

\[ -10x - 4y = -6 \]

Теперь сравним полученное уравнение с вторым уравнением системы:

Полученное: $$-10x - 4y = -6$$

Второе из системы: $$-10x + 4y = 6$$

Сравним коэффициенты:

• Коэффициенты при $$x$$: $$-10$$ и $$-10$$ (равны).
• Коэффициенты при $$y$$: $$-4$$ и $$4$$ (не равны).
• Свободные члены: $$-6$$ и $$6$$ (не равны).

Поскольку коэффициенты при $$y$$ не равны, а коэффициенты при $$x$$ равны, система имеет одно решение.

Альтернативный способ проверки:

Разделим второе уравнение на $$-2$$:

\[ \frac{-10x}{-2} + \frac{4y}{-2} = \frac{6}{-2} \]

\[ 5x - 2y = -3 \]

Теперь сравним первое уравнение системы с этим:

Первое: $$5x + 2y = 3$$

Полученное: $$5x - 2y = -3$$

Видно, что коэффициенты при $$x$$ равны ($$5$$ и $$5$$), коэффициенты при $$y$$ отличаются ($$2$$ и $$-2$$), и свободные члены отличаются ($$3$$ и $$-3$$).

Если бы было $$-10x - 4y = -6$$, то система имела бы бесконечное множество решений (уравнения были бы пропорциональны). Если бы было $$-10x - 4y = 6$$, то система не имела бы решений (уравнения были бы параллельны).

Ответ: Система имеет одно решение.