II 3. Азот имеет объем 2,5 л при давлении 100 кПа. Рас- считайте, на сколько изменилась внутренняя энергия газа, если при уменьшении его объема в 10 раз давле- ние повысилось в 20 раз. 4. Температуры нагревателя и холодильника идеаль- ной тепловой машины соответственно равны 380 Ки 280 К. Во сколько раз увеличится КПД машины, если температуру нагревателя увеличить на 200 К?

Внутренняя энергия идеального газа зависит от давления и объема. Для одноатомного газа: \[ U = \frac{3}{2}pV \]

Первоначальное состояние: \[ p_1 = 100 \text{ кПа} = 10^5 \text{ Па}, \quad V_1 = 2.5 \text{ л} = 2.5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \]

Конечное состояние: \[ V_2 = \frac{V_1}{10} = 0.25 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3, \quad p_2 = 20p_1 = 20 \cdot 10^5 \text{ Па} \]

Изменение внутренней энергии: \[ \Delta U = U_2 - U_1 = \frac{3}{2}(p_2V_2 - p_1V_1) \] \[ \Delta U = \frac{3}{2}(20 \cdot 10^5 \cdot 0.25 \cdot 10^{-3} - 10^5 \cdot 2.5 \cdot 10^{-3}) = \frac{3}{2}(500 - 250) = \frac{3}{2} \cdot 250 = 375 \text{ Дж} \]

КПД идеальной тепловой машины (цикла Карно) определяется как: \[ \eta = 1 - \frac{T_\text{холод}} {T_\text{нагр}} \]

Первоначальный КПД: \[ T_\text{нагр1} = 380 \text{ К}, \quad T_\text{холод} = 280 \text{ К} \] \[ \eta_1 = 1 - \frac{280}{380} = 1 - \frac{14}{19} = \frac{5}{19} \approx 0.263 \]

Новый КПД: \[ T_\text{нагр2} = 380 + 200 = 580 \text{ К} \] \[ \eta_2 = 1 - \frac{280}{580} = 1 - \frac{14}{29} = \frac{15}{29} \approx 0.517 \]

Во сколько раз увеличится КПД: \[ \frac{\eta_2}{\eta_1} = \frac{15/29}{5/19} = \frac{15 \cdot 19}{5 \cdot 29} = \frac{3 \cdot 19}{29} = \frac{57}{29} \approx 1.966 \]