8. Игральную кость бросают дважды. Событие А состоит в том, что при первом броске выпало чётное число очков. Отметьте в таблице элементарных исходов события $$A \cap B$$ и $$A \cup B$$ и найдите их вероятности, если событие В состоит в том, что: a) при втором броске выпало не менее 4 очков; б) сумма выпавших очков больше 8.

Решение:

Сначала определим элементарные исходы для каждого события.

Событие A: При первом броске выпало чётное число очков. Это означает, что на первом броске могло выпасть 2, 4 или 6 очков.

Событие B: a) При втором броске выпало не менее 4 очков. Это означает, что на втором броске могло выпасть 4, 5 или 6 очков. б) Сумма выпавших очков больше 8.

a) Случай, когда при втором броске выпало не менее 4 очков:

$$A \cap B$$ (оба события произошли): {(2,4), (2,5), (2,6), (4,4), (4,5), (4,6), (6,4), (6,5), (6,6)}

$$A \cup B$$ (хотя бы одно событие произошло): {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (1,4), (3,4), (5,4), (1,5), (3,5), (5,5), (1,6), (3,6), (5,6)}

Всего возможных исходов при броске двух костей: 36.

Вероятность $$P(A \cap B)$$ = (количество исходов в $$A \cap B$$) / (общее количество исходов) = 9/36 = 1/4 = 0.25

Вероятность $$P(A \cup B)$$ = (количество исходов в $$A \cup B$$) / (общее количество исходов) = 27/36 = 3/4 = 0.75

б) Случай, когда сумма выпавших очков больше 8:

$$A \cap B$$ (оба события произошли): {(4,5), (4,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

$$A \cup B$$ (хотя бы одно событие произошло): {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (3,6), (5,4), (5,5), (5,6)}

Вероятность $$P(A \cap B)$$ = (количество исходов в $$A \cap B$$) / (общее количество исходов) = 6/36 = 1/6

Вероятность $$P(A \cup B)$$ = (количество исходов в $$A \cup B$$) / (общее количество исходов) = 22/36 = 11/18