3. Ha высоте равнобедренного треугольника АВС, проведенной к основанию АС, взята точка Р, а на сторонах АВ и ВС – точки M и К соответственно. (Точки М, Р и К не лежат на одной прямой.) Известно, что ВМ=ВК. а) Докажите, что углы ВМР и ВКР равны. б) Докажите, что углы КМР и РКМ равны.

а) Рассмотрим треугольники BMP и BKP.

Так как высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой, то ВР – биссектриса угла В. Следовательно, углы MBP и KBP равны.

По условию, BM = BK, сторона ВР – общая.

Таким образом, треугольники BMP и BKP равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак).

Следовательно, углы ВМР и ВКР равны.

б) Поскольку треугольник АВС – равнобедренный, то углы ВАC и ВСА равны. Так как ВМ = ВК, то треугольники АВМ и СВК также равнобедренные, а значит, углы ВМА и ВКС равны.

Поскольку углы ВМР и ВКР равны (доказано в пункте а), а также углы ВМА и ВКС равны, то углы КМР и РКМ равны, так как они являются смежными с равными углами.

Ответ: углы равны.