14. Группа туристов за первый день одиннадцатидневного похода прошла на лодках 5 км, а за каждый последующий на одно и то же количество километров больше, чем за предыдущий день. Известно, что за последние 6 дней группа прошла 97,5 км. Сколько всего километров группа туристов прошла на лодках за 11 дней?

Пусть (a_1) - расстояние, которое группа прошла в первый день (5 км). Пусть (d) - разность арифметической прогрессии (на сколько километров каждый день группа проходила больше, чем в предыдущий день). Расстояние, пройденное за (n) дней, выражается формулой суммы арифметической прогрессии: \[S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d]\] Расстояние, пройденное за последние 6 дней: \[S_6 = \frac{6}{2} [2a_6 + (6 - 1)d] = 3[2a_6 + 5d] = 97.5\] Здесь (a_6) - расстояние, пройденное в шестой день. (a_6 = a_1 + 5d = 5 + 5d). Подставим это в уравнение для (S_6): \[3[2(5 + 5d) + 5d] = 97.5\] \[3[10 + 10d + 5d] = 97.5\] \[30 + 45d = 97.5\]\[45d = 67.5\]\[d = 1.5\] Теперь найдем общее расстояние, пройденное за 11 дней: \[S_{11} = \frac{11}{2} [2a_1 + (11 - 1)d] = \frac{11}{2} [2(5) + 10(1.5)]\] \[S_{11} = \frac{11}{2} [10 + 15] = \frac{11}{2} [25] = 137.5\] **Ответ:** 137,5 км