Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаДЗ. Подготовка к КР по теме «Векторы» 1. Начертите два неколлинеарных вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Постройте векторы, равные: а) \(\vec{c} = -2\vec{b}\); б) \(\vec{d} = 4\vec{b} - \vec{a}\); в) \(\vec{f} = \frac{1}{3}\vec{a} + 2\vec{b}\) 2. На стороне BC ромба ABCD лежит точка K такая, что BK = KC, O - точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\vec{AO}\), \(\vec{AK}\), \(\vec{KD}\) через векторы \(\vec{a} = \vec{AB}\) и \(\vec{b} = \vec{AD}\). 3. В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на отрезки, равные 5 и 12 см. Найдите среднюю линию трапеции. 4. ABCD - параллелограмм, AD = \(\vec{a}\), AB = \(\vec{b}\), R \(\in\) BC, F \(\in\) AD, BR:RC = 3:4, AF:FD = 2:3. Найдите разложение вектора \(\vec{RF}\) по неколлинеарным векторам \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).
Ответ:
Решение
Задача 2
Т.к. ABCD - ромб, то \(\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AC}\). \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}\). Следовательно, \(\vec{AO} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})\).
\(\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK}\). \(\vec{BK} = \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{AD} = \frac{1}{2}\vec{b}\). Следовательно, \(\vec{AK} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}\).
\(\vec{KD} = \vec{AD} - \vec{AK} = \vec{AD} - (\vec{AB} + \vec{BK}) = \vec{b} - (\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}\).
Задача 3
Пусть трапеция ABCD, где AD и BC - основания, а основания высоты, опущенные из B и C, делят AD на отрезки AE = 5 см и ED = 12 см. Тогда AD = AE + ED = 5 + 12 = 17 см.
Т.к. трапеция равнобедренная, то AD - BC = ED - AE = 12 - 5 = 7 см. Следовательно, BC = AD - 7 = 17 - 7 = 10 см.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \(\frac{AD + BC}{2} = \frac{17 + 10}{2} = \frac{27}{2} = 13.5\) см.
Ответ: 13.5 см
Задача 4
\(\vec{RF} = \vec{AF} - \vec{AR}\)
\(\vec{AF} = \frac{2}{5}\vec{AD} = \frac{2}{5}\vec{a}\)
\(\vec{AR} = \vec{AB} + \vec{BR} = \vec{b} + \frac{3}{7}\vec{BC} = \vec{b} + \frac{3}{7}\vec{a}\)
Следовательно, \(\vec{RF} = \frac{2}{5}\vec{a} - (\vec{b} + \frac{3}{7}\vec{a}) = \frac{2}{5}\vec{a} - \vec{b} - \frac{3}{7}\vec{a} = (\frac{2}{5} - \frac{3}{7})\vec{a} - \vec{b} = (\frac{14 - 15}{35})\vec{a} - \vec{b} = -\frac{1}{35}\vec{a} - \vec{b}\)
Похожие
