Решение треугольника

Дано: треугольник ABC, AC = 4, AB = $$3\sqrt{2}$$, ∠A = 45°.

Найти: BC, cos ∠B, cos ∠C.

1. Найдем сторону BC, используя теорему косинусов:

$$BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot \cos A$$ $$BC^2 = 4^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos 45°$$ $$BC^2 = 16 + 18 - 2 \cdot 4 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$BC^2 = 34 - 24$$ $$BC^2 = 10$$ $$BC = \sqrt{10}$$

Ответ: $$BC = \sqrt{10}$$

2. Найдем косинус угла B, используя теорему косинусов:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$$ $$4^2 = (3\sqrt{2})^2 + (\sqrt{10})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{10} \cdot \cos B$$ $$16 = 18 + 10 - 6\sqrt{20} \cdot \cos B$$ $$16 = 28 - 6 \cdot 2 \sqrt{5} \cdot \cos B$$ $$6\sqrt{20} \cdot \cos B = 12$$ $$\cos B = \frac{12}{6 \cdot 2 \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$

Ответ: $$cos \angle B = \frac{\sqrt{5}}{5}$$

3. Найдем косинус угла C:

Сумма углов треугольника равна 180°:

$$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$$

Так как у нас есть косинус угла B, найдем сам угол B:

$$\angle B = \arccos(\frac{\sqrt{5}}{5})$$ $$\angle B \approx 63.43°$$

Теперь найдем угол C:

$$\angle C = 180° - \angle A - \angle B$$ $$\angle C = 180° - 45° - 63.43°$$ $$\angle C = 71.57°$$

Найдем косинус угла C:

$$\cos C = \cos 71.57° \approx 0.316$$

Или используем теорему синусов для угла С:

$$\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}$$ $$\frac{3\sqrt{2}}{\sin C} = \frac{4}{\sin(arccos(\frac{\sqrt{5}}{5}))}$$ $$\frac{3\sqrt{2}}{\sin C} = \frac{4}{\frac{2}{\sqrt{5}}}$$ $$\frac{3\sqrt{2}}{\sin C} = \frac{4\sqrt{5}}{2}$$ $$\sin C = \frac{3\sqrt{2} \cdot 2}{4\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$$ $$\cos C = \sqrt{1 - \sin^2 C} = \sqrt{1 - (\frac{3\sqrt{10}}{10})^2} = \sqrt{1 - \frac{9 \cdot 10}{100}} = \sqrt{1 - \frac{9}{10}} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$$

Ответ:$$\cos \angle C = \frac{\sqrt{10}}{10}$$