Две хорды окружности точкой пересечения делят друг друга пополам. Верно ли, что эта точка - центр окружности (рис. 20.59)?

Да, верно. Если две хорды окружности точкой пересечения делятся пополам, то эта точка является центром окружности.

Доказательство:

Пусть AB и CD – хорды, пересекающиеся в точке O, и AO = OB, CO = OD. Нужно доказать, что O – центр окружности.

Так как AO = OB и CO = OD, то O – середина каждой из хорд. Известно, что прямая, проходящая через середину хорды и перпендикулярная ей, проходит через центр окружности. В нашем случае, так как хорды делятся пополам в точке O, то перпендикуляры к хордам AB и CD, восстановленные в точке O, должны пройти через центр окружности. Но так как эти хорды пересекаются в точке O, то точка O и есть центр окружности.