21. Два автомобиля одновременно отправляются в 930-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 31 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 5 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Решение: 1. Обозначим скорость первого автомобиля как \(v_1\) км/ч, а скорость второго автомобиля как \(v_2\) км/ч. 2. Расстояние, которое должны проехать оба автомобиля, равно 930 км. 3. Из условия задачи известно, что \(v_1 = v_2 + 31\). 4. Время, затраченное первым автомобилем, равно \(t_1 = \frac{930}{v_1}\), а время, затраченное вторым автомобилем, равно \(t_2 = \frac{930}{v_2}\). 5. Также известно, что первый автомобиль прибывает на 5 часов раньше второго, то есть \(t_2 - t_1 = 5\). 6. Подставим выражения для времени: \(\frac{930}{v_2} - \frac{930}{v_1} = 5\). 7. Заменим \(v_1\) на \(v_2 + 31\): \(\frac{930}{v_2} - \frac{930}{v_2 + 31} = 5\). 8. Умножим обе части уравнения на \(v_2(v_2 + 31)\): \(930(v_2 + 31) - 930v_2 = 5v_2(v_2 + 31)\). 9. Раскроем скобки: \(930v_2 + 930 \cdot 31 - 930v_2 = 5v_2^2 + 155v_2\). 10. Упростим: \(28830 = 5v_2^2 + 155v_2\). 11. Разделим обе части на 5: \(5766 = v_2^2 + 31v_2\). 12. Получим квадратное уравнение: \(v_2^2 + 31v_2 - 5766 = 0\). 13. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = 31^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5766) = 961 + 23064 = 24025 = 155^2\). 14. Корни: \(v_2 = \frac{-31 \pm 155}{2}\). Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень: \(v_2 = \frac{-31 + 155}{2} = \frac{124}{2} = 62\). 15. Тогда \(v_1 = v_2 + 31 = 62 + 31 = 93\). Ответ: Скорость первого автомобиля равна 93 км/ч.