Два автомобиля одновременно отправляются в 420-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 24 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Решение:

Пусть \( v_2 \) — скорость второго автомобиля (км/ч).

Тогда скорость первого автомобиля \( v_1 = v_2 + 24 \) (км/ч).

Расстояние \( S = 420 \) км.

Время первого автомобиля \( t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{420}{v_2 + 24} \) (ч).

Время второго автомобиля \( t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{420}{v_2} \) (ч).

По условию, первый автомобиль прибывает на 2 часа раньше второго, значит \( t_2 - t_1 = 2 \).

\(\frac{420}{v_2} - \frac{420}{v_2 + 24} = 2\)

Разделим обе части уравнения на 2:

\(\frac{210}{v_2} - \frac{210}{v_2 + 24} = 1\)

Приведём к общему знаменателю:

\(\frac{210(v_2 + 24) - 210v_2}{v_2(v_2 + 24)} = 1\)

\(210v_2 + 5040 - 210v_2 = v_2(v_2 + 24)\)

\(5040 = v_2^2 + 24v_2\)

\(v_2^2 + 24v_2 - 5040 = 0\)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\(D = b^2 - 4ac = 24^2 - 4(1)(-5040) = 576 + 20160 = 20736\)

\(\sqrt{D} = \sqrt{20736} = 144\)

\(v_2 = \frac{-24 \pm 144}{2}\)

\(v_2 = \frac{-24 + 144}{2} = \frac{120}{2} = 60\) (км/ч)

\(v_2 = \frac{-24 - 144}{2} = \frac{-168}{2} = -84\) (скорость не может быть отрицательной)

Скорость второго автомобиля \( v_2 = 60 \) км/ч.

Скорость первого автомобиля \( v_1 = v_2 + 24 = 60 + 24 = 84 \) км/ч.

Ответ: 84 км/ч.