4. Докажите тождество tg(-t) = -sin² t. tgt + ctgt

Ответ: Тождество доказано.

1. Преобразуем левую часть: \[\frac{tg(-t)}{tgt + ctgt} = \frac{-tgt}{tgt + \frac{1}{tgt}} = \frac{-tgt}{\frac{tg^2t + 1}{tgt}} = \frac{-tg^2t}{tg^2t + 1}\]
2. Вспоминаем, что \(tg(t) = \frac{sin(t)}{cos(t)}\) и \(sin^2(t) + cos^2(t) = 1\).
3. Продолжаем преобразования: \[\frac{-tg^2t}{tg^2t + 1} = \frac{-\frac{sin^2t}{cos^2t}}{\frac{sin^2t}{cos^2t} + 1} = \frac{-\frac{sin^2t}{cos^2t}}{\frac{sin^2t + cos^2t}{cos^2t}} = \frac{-\frac{sin^2t}{cos^2t}}{\frac{1}{cos^2t}} = -sin^2t\]
4. Таким образом, мы доказали тождество: \[\frac{tg(-t)}{tgt + ctgt} = -sin^2 t\]

Ответ: Тождество доказано.