4. Докажите тождество sin α + 1 + cos a 1 + cos a sin a 2 = sin a

Пошаговое решение:

Приводим к общему знаменателю:

\[\frac{\sin{\alpha}}{1 + \cos{\alpha}} + \frac{1 + \cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} = \frac{\sin^2{\alpha} + (1 + \cos{\alpha})^2}{(1 + \cos{\alpha})\sin{\alpha}}\]

Раскрываем скобки:

\[\frac{\sin^2{\alpha} + 1 + 2\cos{\alpha} + \cos^2{\alpha}}{(1 + \cos{\alpha})\sin{\alpha}}\]

Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1\):

\[\frac{1 + 1 + 2\cos{\alpha}}{(1 + \cos{\alpha})\sin{\alpha}} = \frac{2 + 2\cos{\alpha}}{(1 + \cos{\alpha})\sin{\alpha}} = \frac{2(1 + \cos{\alpha})}{(1 + \cos{\alpha})\sin{\alpha}}\]

Сокращаем:

\[\frac{2}{\sin{\alpha}}\]

Что и требовалось доказать.