8. Докажите тождество: cos² a-sin² α cos a-sin a - tg a · cos a = cos a.

Доказать:

\[ \frac{cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha)}{cos(\alpha) - sin(\alpha)} - tg(\alpha) \cdot cos(\alpha) = cos(\alpha) \]

Решение:

Шаг 1: Упростим левую часть выражения:

\[ \frac{cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha)}{cos(\alpha) - sin(\alpha)} = \frac{(cos(\alpha) - sin(\alpha))(cos(\alpha) + sin(\alpha))}{cos(\alpha) - sin(\alpha)} = cos(\alpha) + sin(\alpha) \]

Шаг 2: Упростим второе слагаемое:

\[ tg(\alpha) \cdot cos(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} \cdot cos(\alpha) = sin(\alpha) \]

Шаг 3: Подставим упрощенные выражения обратно в уравнение:

\[ cos(\alpha) + sin(\alpha) - sin(\alpha) = cos(\alpha) \]

\[ cos(\alpha) = cos(\alpha) \]

Тождество доказано.