1. Докажите равенство треугольников ABF и CBD (рис. 42), если АВ = BC и BF = BD. 2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 33 см, а основание на 3 см меньше боковой стороны. 3. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соответственно точки Ди Е так, что ∠ACD = ∠CAE. Докажите, что AD = СЕ. 4. Найдите основание равнобедренного треугольника, если его периметр равен 98 см, а боковая сторона равна 31см. 5. Найти стороны треугольника, периметр которого 65 см, если одна из них в 3 раза меньше другой и на 15 см больше третьей.

Разберу задания из Варианта 1.

1. Докажите равенство треугольников ABF и CBD (рис. 42), если АВ = BC и BF = BD.

Для доказательства равенства треугольников ABF и CBD необходимо воспользоваться одним из признаков равенства треугольников. В данном случае, у нас есть информация о двух сторонах и угле между ними.

1. AB = BC (по условию)

2. BF = BD (по условию)

3. ∠B - общий

Следовательно, треугольники ABF и CBD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: Треугольники ABF и CBD равны по первому признаку равенства треугольников.

---

2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 33 см, а основание на 3 см меньше боковой стороны.

Пусть x - длина боковой стороны, тогда основание равно (x - 3). Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. Так как треугольник равнобедренный, то две его стороны равны.

Составим уравнение:

$$x + x + (x - 3) = 33$$

$$3x - 3 = 33$$

$$3x = 36$$

$$x = 12$$

Значит, боковая сторона равна 12 см, а основание:

$$12 - 3 = 9 \text{ см}$$

Ответ: Боковые стороны равны 12 см, основание равно 9 см.

---

3. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соответственно точки Д и Е так, что ∠ACD = ∠CAE. Докажите, что AD = СЕ.

Рассмотрим треугольники ADC и CEA:

1. AC - общая сторона.
2. ∠ACD = ∠CAE (по условию).
3. Так как треугольник ABC равнобедренный, то ∠BAC = ∠BCA. Следовательно, ∠DAC = ∠ECA (поскольку ∠DAC = ∠BAC - ∠BAE, ∠ECA = ∠BCA - ∠ACD, и ∠ACD = ∠CAE).

Таким образом, треугольники ADC и CEA равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Следовательно, AD = CE как соответствующие стороны равных треугольников.

Ответ: AD = CE.

---

4. Найдите основание равнобедренного треугольника, если его периметр равен 98 см, а боковая сторона равна 31 см.

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. Пусть x - длина основания.

Составим уравнение:

$$31 + 31 + x = 98$$

$$62 + x = 98$$

$$x = 98 - 62$$

$$x = 36$$

Ответ: Основание равно 36 см.

---

5. Найти стороны треугольника, периметр которого 65 см, если одна из них в 3 раза меньше другой и на 15 см больше третьей.

Пусть x - длина первой стороны, тогда 3x - длина второй стороны, а (x + 15) - длина третьей стороны. Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон.

Составим уравнение:

$$x + 3x + (x + 15) = 65$$

$$5x + 15 = 65$$

$$5x = 50$$

$$x = 10$$

Значит, первая сторона равна 10 см, вторая сторона:

$$3 \cdot 10 = 30 \text{ см}$$

Третья сторона:

$$10 + 15 = 25 \text{ см}$$

Ответ: Стороны треугольника равны 10 см, 30 см и 25 см.