1. Докажите равенство треугольников ABD и CBD (рис. 44), если АВ = ВС и ∠ABD = ∠CBD. 2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 30 см, а боковая сторона на 6 см меньше основания. 3. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точки Ми Ктак, что ∠ABM =∠CВК, точка М лежит между точками А и К. Докажите, что АМ = СK. 4. Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если его периметр равен 30 см, а основание равно 13 см 5. Найти стороны треугольника, периметр которого 63 см, если одна из них в 3 раза меньше другой и на 13 см больше третьей.

Разберу задания из Варианта 2.

1. Докажите равенство треугольников ABD и CBD (рис. 44), если АВ = ВС и ∠ABD = ∠CBD.

Для доказательства равенства треугольников ABD и CBD необходимо воспользоваться одним из признаков равенства треугольников. В данном случае, у нас есть информация о двух сторонах и угле между ними.

1. AB = BC (по условию)

2. ∠ABD = ∠CBD (по условию)

3. BD - общая сторона

Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: Треугольники ABD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников.

---

2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 30 см, а боковая сторона на 6 см меньше основания.

Пусть x - длина основания, тогда боковая сторона равна (x - 6). Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. Так как треугольник равнобедренный, то две его стороны равны.

Составим уравнение:

$$(x - 6) + (x - 6) + x = 30$$

$$3x - 12 = 30$$

$$3x = 42$$

$$x = 14$$

Значит, основание равно 14 см, а боковая сторона:

$$14 - 6 = 8 \text{ см}$$

Ответ: Боковые стороны равны 8 см, основание равно 14 см.

---

3. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точки М и К так, что ∠ABM =∠CВК, точка М лежит между точками А и К. Докажите, что АМ = СK.

Рассмотрим треугольники ABM и CBK:

1. AB = BC (так как треугольник ABC равнобедренный).
2. ∠ABM = ∠CBK (по условию).
3. ∠BAM = ∠BCK (так как треугольник ABC равнобедренный, углы при основании равны).

Таким образом, треугольники ABM и CBK равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Следовательно, AM = CK как соответствующие стороны равных треугольников.

Ответ: АМ = СК.

---

4. Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если его периметр равен 30 см, а основание равно 13 см.

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. Пусть x - длина боковой стороны.

Составим уравнение:

$$x + x + 13 = 30$$

$$2x + 13 = 30$$

$$2x = 17$$

$$x = 8.5$$

Ответ: Боковая сторона равна 8.5 см.

---

5. Найти стороны треугольника, периметр которого 63 см, если одна из них в 3 раза меньше другой и на 13 см больше третьей.

Пусть x - длина первой стороны, тогда 3x - длина второй стороны, а (x + 13) - длина третьей стороны. Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон.

Составим уравнение:

$$x + 3x + (x + 13) = 63$$

$$5x + 13 = 63$$

$$5x = 50$$

$$x = 10$$

Значит, первая сторона равна 10 см, вторая сторона:

$$3 \cdot 10 = 30 \text{ см}$$

Третья сторона:

$$10 + 13 = 23 \text{ см}$$

Ответ: Стороны треугольника равны 10 см, 30 см и 23 см.