Докажите равенство прямоугольных треугольников по острому углу и высоте, проведенной к гипотенузе.

Доказательство:

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \), где \( \angle ACB = \angle A_1C_1B_1 = 90^{\circ} \).

Пусть к гипотенузе AB проведена высота CH, а к гипотенузе \( A_1B_1 \) — высота \( C_1H_1 \).

По условию:

1. Один острый угол одного треугольника равен одному острому углу другого треугольника. Пусть \( \angle A = \angle A_1 \).
2. Высоты, проведенные к гипотенузам, равны: \( CH = C_1H_1 \).

Рассмотрим прямоугольные треугольники AHC и \( A_1H_1C_1 \).

• \( \angle HAC = \angle H_1A_1C_1 = \angle A = \angle A_1 \) (по условию).
• \( \angle AHC = \angle A_1H_1C_1 = 90^{\circ} \) (по определению высоты).

По признаку равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу (второй признак), \( \triangle AHC = \triangle A_1H_1C_1 \). Из этого следует, что соответствующие стороны равны, в частности, \( AC = A_1C_1 \).

Теперь рассмотрим исходные прямоугольные треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \).

• У них равны острый угол \( \angle A = \angle A_1 \).
• У них равны катеты, прилежащие к этому острому углу: \( AC = A_1C_1 \).

По первому признаку равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам), \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \).

Вывод: Два прямоугольных треугольника равны по острому углу и высоте, проведенной к гипотенузе.