Докажите признаки равнобедренной трапеции. Трапеция является равнобедренной, если: а) углы при основании равны; б) диагонали трапеции равны.

Пусть \(ABCD\) — трапеция с основаниями \(AD\parallel BC\).

а) Если углы при одном основании равны, например \(\angle A=\angle D\), то проведём из вершин \(B\) и \(C\) перпендикуляры к основанию \(AD\). Получаются прямоугольные треугольники, имеющие равные острые углы при основании и равные соответствующие катеты как расстояния между параллельными прямыми. Следовательно, эти треугольники равны, поэтому их гипотенузы равны: \(AB=CD\). Значит, трапеция равнобедренная.

б) Если диагонали равны, \(AC=BD\), то рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(DCB\). У них \(AC=BD\), \(BC\) — общая сторона, а \(\angle ACB=\angle DBC\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(AD\parallel BC\). Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому \(AB=CD\), то есть трапеция равнобедренная.

Ответ: трапеция равнобедренная, если равны углы при одном основании или если равны её диагонали.