6. Докажите, что в треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.

1) Доказательство: против большей стороны лежит больший угол. Пусть в треугольнике ABC сторона AC больше стороны AB. Нужно доказать, что угол B больше угла C. Отложим на стороне AC отрезок AD, равный стороне AB. Тогда треугольник ABD - равнобедренный, и углы ABD и ADB равны. Угол ADB - внешний угол треугольника BDC, поэтому он больше угла C. Значит, угол ABD больше угла C. Угол B равен сумме углов ABD и DBC, поэтому угол B больше угла ABD. Следовательно, угол B больше угла C. 2) Доказательство: против большего угла лежит большая сторона. Пусть в треугольнике ABC угол B больше угла C. Нужно доказать, что сторона AC больше стороны AB. Предположим, что это не так. Тогда либо AC равно AB, либо AC меньше AB. Если AC равно AB, то треугольник ABC - равнобедренный, и углы B и C равны, что противоречит условию. Если AC меньше AB, то угол B меньше угла C, что также противоречит условию. Следовательно, AC больше AB.