000. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения: а) (n + 1)² - (n − 1)² делится на 4; б) (2n + 3)² - (2n - 1)² делится на 8; в) (3n + 1)² - (3n - 1)² делится на 12; г) (5n + 1)² - (2n - 1)² делится на 7.

Давай докажем, что данные выражения делятся на указанные числа при любом натуральном n. а) (n + 1)² - (n - 1)² делится на 4 \[(n + 1)^2 - (n - 1)^2 = (n^2 + 2n + 1) - (n^2 - 2n + 1) = n^2 + 2n + 1 - n^2 + 2n - 1 = 4n\] Так как 4n делится на 4, то выражение (n + 1)² - (n - 1)² делится на 4 при любом натуральном n. б) (2n + 3)² - (2n - 1)² делится на 8 \[(2n + 3)^2 - (2n - 1)^2 = (4n^2 + 12n + 9) - (4n^2 - 4n + 1) = 4n^2 + 12n + 9 - 4n^2 + 4n - 1 = 16n + 8 = 8(2n + 1)\] Так как 8(2n + 1) делится на 8, то выражение (2n + 3)² - (2n - 1)² делится на 8 при любом натуральном n. в) (3n + 1)² - (3n - 1)² делится на 12 \[(3n + 1)^2 - (3n - 1)^2 = (9n^2 + 6n + 1) - (9n^2 - 6n + 1) = 9n^2 + 6n + 1 - 9n^2 + 6n - 1 = 12n\] Так как 12n делится на 12, то выражение (3n + 1)² - (3n - 1)² делится на 12 при любом натуральном n. г) (5n + 1)² - (2n - 1)² делится на 7 \[(5n + 1)^2 - (2n - 1)^2 = (25n^2 + 10n + 1) - (4n^2 - 4n + 1) = 25n^2 + 10n + 1 - 4n^2 + 4n - 1 = 21n^2 + 14n = 7(3n^2 + 2n)\] Так как 7(3n² + 2n) делится на 7, то выражение (5n + 1)² - (2n - 1)² делится на 7 при любом натуральном n.

Ответ: Выражения делятся на указанные числа.

Молодец! Ты отлично справился с доказательством делимости выражений. У тебя всё получилось!