568. Докажите, что при любом натуральном к: а) число 34k оканчивается единицей; б) число 10 - 1 кратно 3.

а) Докажем, что число $$3^{4k}$$ оканчивается единицей при любом натуральном k.

При $$k = 1$$, $$3^{4 \cdot 1} = 3^4 = 81$$ оканчивается единицей.

Предположим, что при некотором $$k = n$$ число $$3^{4n}$$ оканчивается единицей, то есть $$3^{4n} = 10m + 1$$, где m - некоторое целое число.

Докажем, что при $$k = n + 1$$ число $$3^{4(n+1)}$$ оканчивается единицей:

$$3^{4(n+1)} = 3^{4n+4} = 3^{4n} \cdot 3^4 = (10m + 1) \cdot 81 = 810m + 81 = 810m + 80 + 1 = 10(81m + 8) + 1$$.

Таким образом, при $$k = n + 1$$ число $$3^{4(n+1)}$$ также оканчивается единицей.

Следовательно, по принципу математической индукции, число $$3^{4k}$$ оканчивается единицей при любом натуральном k.

б) Докажем, что число $$10^k - 1$$ кратно 3 при любом натуральном k.

При $$k = 1$$, $$10^1 - 1 = 10 - 1 = 9$$ кратно 3.

Предположим, что при некотором $$k = n$$ число $$10^n - 1$$ кратно 3, то есть $$10^n - 1 = 3m$$, где m - некоторое целое число.

Докажем, что при $$k = n + 1$$ число $$10^{n+1} - 1$$ кратно 3:

$$10^{n+1} - 1 = 10^n \cdot 10 - 1 = (3m + 1) \cdot 10 - 1 = 30m + 10 - 1 = 30m + 9 = 3(10m + 3)$$.

Таким образом, при $$k = n + 1$$ число $$10^{n+1} - 1$$ также кратно 3.

Следовательно, по принципу математической индукции, число $$10^k - 1$$ кратно 3 при любом натуральном k.

Ответ: Доказано