8) Докажите, что основание равнобедренного треугольника параллельно биссектрисе одного из внешних углов.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Пусть BE - биссектриса внешнего угла при вершине B. Нужно доказать, что AC || BE.

1) Пусть ∠BAC = ∠BCA = α. Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании AC равны.
2) ∠ABC = 180° - 2α (сумма углов в треугольнике равна 180°).
3) Внешний угол при вершине B равен 180° - ∠ABC = 180° - (180° - 2α) = 2α.
4) Так как BE - биссектриса внешнего угла при вершине B, то ∠EBC = (1/2) * 2α = α.
5) ∠EBC = ∠BCA = α. Эти углы являются внутренними накрест лежащими углами при прямых AC и BE и секущей BC.
6) Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, AC || BE.

Что и требовалось доказать.