591. Докажите, что многочлен х²+ y²+1 при любых значениях х и у принимает положительные значения.

Доказательство:

Рассмотрим многочлен x² + y² + 1.

• Квадрат любого действительного числа (x² и y²) всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю.
• Следовательно, x² ≥ 0 и y² ≥ 0.
• Сумма двух неотрицательных чисел (x² + y²) также неотрицательна, то есть x² + y² ≥ 0.
• Теперь добавим 1 к этой сумме: x² + y² + 1 ≥ 0 + 1.
• Таким образом, x² + y² + 1 ≥ 1.

Поскольку x² + y² + 1 всегда больше или равно 1, то многочлен всегда принимает положительные значения при любых значениях x и y.

Ответ: Многочлен x² + y² + 1 всегда принимает положительные значения.