55. Доказать тождество: sin (30° + a) cos (60° + α) 1) = √3 tg a; sin (30° + a) + cos (60° + α)

Ответ: sin (30° + α) - cos (60° + α) / sin (30° + α) + cos (60° + α) = √3 tg α

Преобразуем левую часть выражения, используя формулы синуса и косинуса суммы:

\[\begin{aligned}&\sin(30^\circ + \alpha) = \sin 30^\circ \cos \alpha + \cos 30^\circ \sin \alpha = \frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}&\cos(60^\circ + \alpha) = \cos 60^\circ \cos \alpha - \sin 60^\circ \sin \alpha = \frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha\end{aligned}\]

Подставим полученные выражения в левую часть исходного выражения:

\[\begin{aligned}&\frac{\sin (30^\circ + \alpha) - \cos (60^\circ + \alpha)}{\sin (30^\circ + \alpha) + \cos (60^\circ + \alpha)} = \frac{(\frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha) - (\frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha)}{(\frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha) + (\frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha)}\\&= \frac{\frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha - \frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha}{\frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha + \frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha}\\&= \frac{\sqrt{3} \sin \alpha}{\cos \alpha} = \sqrt{3} \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \sqrt{3} \tan \alpha\end{aligned}\]

Получили, что левая часть равна правой части, следовательно, тождество доказано.

Ответ: sin (30° + α) - cos (60° + α) / sin (30° + α) + cos (60° + α) = √3 tg α