Доказать, что остроугольный треугольник АВС подобен треугольнику Ат ВС1, если АА и СС₁ - его высоты.

Для доказательства подобия треугольников ABC и A₁BC₁ необходимо показать, что два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.

1. Рассмотрим треугольники ACC₁ и AA₁C:

∠AA₁C = 90° (так как AA₁ - высота)

∠CC₁A = 90° (так как CC₁ - высота)

∠C - общий

Таким образом, треугольники ACC₁ и AA₁C подобны по двум углам.

2. Рассмотрим четырехугольник A₁BC₁H, где H - точка пересечения высот AA₁ и CC₁.

∠BA₁H = 90°

∠BC₁H = 90°

Сумма углов четырехугольника равна 360°, следовательно, ∠A₁BC₁ + ∠A₁HC₁ = 180°

∠A₁HC₁ = ∠AHC (как вертикальные углы)

∠AHC = 180° - ∠BAC

∠A₁BC₁ = 180° - (180° - ∠BAC) = ∠BAC

∠A₁BC₁ = ∠ABC

3. Рассмотрим треугольники A₁BC₁ и ABC:

∠A₁BC₁ = ∠ABC (доказано выше)

∠BA₁C₁ = ∠BAC (опираются на одну дугу)

Следовательно, треугольники A₁BC₁ и ABC подобны по двум углам.

Ответ: Остроугольный треугольник АВС подобен треугольнику А₁ВC₁.